人類數學史上三次危機，最後一個危機至今都沒有解決！

數學，雖然嚴格來講並不屬於科學範疇，但它是科學不斷髮展的基石。很多人牙牙學語時期就擁有最基本的數學概念，到了兩三歲時就會從1數到100，甚至開始了簡單的加減運算。

不過，人類究竟從什麼時候開始用了數的概念，並無從考究。人類甚至不知道數學是隨着文明的崛起而出現的，還是人類意識中通過經驗總結出來的邏輯基礎。

從人類古代文獻來看，最早的計數工具其實很簡單，比如說結繩計數，這種方式是一種相當簡潔的數學表達方式。

從結繩計數這種計數方式也能看出，人們對於大自然的認知是很古樸的，抱着一種樸素簡潔的方式去認知大自然，人們一開始就相信簡潔的整數就可以代表並描述萬事萬物。

不過，當人們對直角三角形的三條邊進行仔細研究時，發現了非常不協調的地方，而這個發現也促使了人類對數學的認知發生了第一次變革。具體怎麼回事呢？

假設有一個直角邊都爲1的等腰直角三角形，它的斜邊長是多少呢？

我們現在知道，斜邊長是根號2，這個數是無理數。但是古代人們並不知道這些，當他們試着計算根號2的具體數值時，變得抓狂起來。在計算的過程中，古人發現這個數非常長，而且不管他們計算多久，好像都看不到盡頭。

而根號2也是人們發現的第一個無理數，而無理數的出現，也釀成了第一次數學危機。

無理數的出現，徹底擊碎了古人之前對“簡潔自然美”的認知，人們一度很難接受這個事實，在他們看來，根號2簡直太“邪惡”了。

但不管如何，根號2這個數確實存在，古人不可能掩耳盜鈴視而不見，於是開始對物理學進行深入研究，在研究的過程中，人們也第一次有了無窮的概念，也因此誕生了著名的四大悖論之一：芝諾悖論。

相信很多人都聽說過這個悖論，具體是這樣的。

你和一隻烏龜賽跑，由於烏龜的速度很慢，你和烏龜的出發點並不一樣，烏龜在你前方100米的地方。你的速度是烏龜的10倍。

那麼，你有沒有可能追上並超越烏龜呢？答案現實是可以的，很快你就可以追上並超過烏龜，畢竟你的速度比烏龜快很多。

但是按照芝諾悖論的設想，你不可能追上烏龜。爲什麼這樣說？

因爲烏龜一開始就領先你100米，當你跑100米，正好跑到烏龜的出發點，這時候烏龜跑10米。而當你跑10米，烏龜跑1米。當你再跑1米的時候，烏龜又跑了0.1米......

按照這種方式進行下去，烏龜永遠在你前面，你跑過的路程剛好是烏龜之前跑過的！這意味着你永遠追不上烏龜。

可現實中我們知道你很快就可以追上並超越烏龜，爲何會出現這種“矛盾”？問題到底出在哪裡？

古人對芝諾悖論進行了深入思考，延伸出了無窮的概念，並發現了芝諾悖論的漏洞。芝諾悖論其實更像是“詭辯”，刻意設定一個“陷阱”讓你跳進去。由於我們的時間是有限的，不可能在有限的時間裡做無窮多的事情，這樣就避免了跳進芝諾悖論設定的“陷阱”裡。

而人們對無理數以及無窮概念的深入探索，也成功化解了人類歷史上第一次數學危機，這次危機的化解，也讓人類數學一直安靜地發展了近2000年，直到牛頓和萊布尼茨的出現。

說白了，也就是微積分的出現，引發了人類歷史上第二次數學危機。

微積分的作用可謂大大地，因爲有了微積分，人們可以輕鬆解決之前被認爲不可能被解決的問題，比如說可以精確測量所有曲折圖形的面積，當然也可以測量任何彎曲的曲線長度。

在很多人眼裡，微積分很難理解，聽起來更是“高大上”，其實不然，因爲它的思想基礎就是無限細分然後再整合，微積分的基礎就是無限逼近零的概念。

也就是說，在很多情況下，人們可以直接把無限小當做零來使用，但並不知道兩者之間的區別和數學含義。

牛頓和萊布尼茨時代，人們並沒有搞清楚微分，積分以及倒數的真正含義。

第二次數學危機其實很早就得到解決了，但直到今天仍舊有很多人不理解，甚至有誤解。

舉個最簡單的例子就明白第二次數學危機了，比如說0.999......和1哪個大？

答案是一樣大，因爲0.999......和1完全就是一個數，當然是一樣大的。但是直到今天仍舊有不少人認爲0.999......小於1，對於這種誤解，我也想多數，簡單粗暴地回答：認爲0.999......小於1的夥伴們，基本上完全沒有理解無窮的內在含義。

當然這並不是怪罪當然更不是嘲笑不理解的夥伴們，畢竟在我們日常生活中看到的都是有限的事物，所以無窮的概念很多時候非常違揹我們的日常生活經驗，而我們的潛意識會強迫我們接受日常生活經驗下的認知。

說白了，第二次數學危機的根源，就在於對微積分和無窮理解的偏差上。

人們成功詮釋第二次數學危機的兩百多年後，出現了第三次數學危機。一個著名的悖論，也就是“羅素悖論” ，可以很好地描述第三次數學危機。

羅素悖論中有一個著名的例子。有一個技術精湛的理髮師這樣打廣告：會給所有不能給自己理髮的人理髮！

那麼問題來了：這個理髮師會給他本人理髮嗎？答案無論是會或者不會，都與他的廣告語矛盾。

其實這與“上帝悖論”是一個道理：上帝是無所不能的，但上帝能創造出一塊他自己搬不動的石頭嗎？無論能或者不能，都會與“上帝無所不能”產生矛盾。

羅素悖論其實更像是一種哲學思想，哲學思想裡的本體論，由此甚至可以延伸出唯心和唯物思想。具體什麼意思呢？

通俗來講就是，羅素悖論，總是會一開始把自己置身事外，但是緊接着會換一種角度，又把自己放在事件中。這就相當於自己製造矛盾：自己到底在哪裡？是事件裡呢還是事件外呢？

用主觀唯心主義來理解羅素悖論，是這樣的。假設世界就是你幻想出來的表象，也就是說，宇宙萬物都是你的意識幻想出來的，那麼“你”本身的概念也是意識幻想出來的假象嗎？

如果答案是肯定的，那麼“你對“你”的概念質疑的思想”也是由你的意識幻想出來的嗎？

看出來了嗎？結果就像俄羅斯套娃那樣，永遠沒有盡頭。問題最終就會演化爲：以的意識本體到底是什麼，在哪裡？

如果你的意識存在，就會出現上面的矛盾。而如果你的意識不存在，那麼你的意識幻想出來的世界也就不存在了！

嚴格來講，羅素悖論並不是真正意義上的數學問題，更像是對集合定義的一種詭辯罷了。詭辯，說白了就是“擡槓”，至今人們也沒有完美解決這一類的詭辯。