吳統雄專欄》牛頓老師：1分鐘理解如何解決曲折問題

「90分鐘變牛頓工作坊」：背誦微積分很痛苦，發明微積分則很快樂。牛頓教我們，有無窮的好奇心，與一點點的耐心，你就能夠看見別人看不見的世界，解決無限曲折的問題。（圖／作者吳統雄提供）

10月5日是聯合國世界教師日，是認識知識的建設家牛頓老師的好機會。討論牛頓的文章，都說他很偉大，今天我們有機會了解他爲何偉大。

牛頓啓示我們，只要有無窮的好奇心，與一點點的耐心，你就能夠看見別人看不見的世界，解決無限曲折的問題。

不能用乘法就改用除法

在學校中不被認爲是好學生的牛頓，發現大家都看不見重力的存在，他就示範瞭如何看得見的「思想方法」，即正面不能解決問題，就由反面解決；天下事不是隻有左右兩個方向，要能用多元曲折的方法去了解。

他的思想過程因爲有趣而簡單，我當初看到他寫的心路歷程，忍不住跳起來拍頭打腿，對我這個天生偏愚笨（不是假客氣）的人，激勵實在太大了！

不幸，絕大多數學校介述牛頓時，跳過他的「思想方法」，直接講他的結論與要求背誦數百條公式，就是令人聞之生畏的微積分。

可以反映重力存在的實驗爲何抽象難懂？譬如，自由落體的實驗記錄是一條曲線，如插圖的下左。

2300年前，歐幾里得幾乎把幾何問題都解決了，所有的直線與對稱曲線（如圓形），他都能分析解釋，大家能瞭解，也對「二元論」的議題連帶有認識能力。但自由落體的實驗是不對稱曲線，大家只能托腮乾瞪眼。

百年來的中外教科書幾乎全部是抄寫剪貼，絕大多數老師照本宣科，只要求背公式和計算，全班學生，尤其是社會與管理學院學生，看見可怕的公式（如插圖下中），就全部趴下睡覺了。

自由落體的實驗，球每秒滾的距離都不一樣，我們想要預測到底可滾多遠，就是「距離*時間」，即「長*寬=面積」，但長度一直在改變，我們就無法知道其面積大小。

牛頓就想了：面積是乘法，如果我們不能做乘法，能不能反過來用除法解決？

我生在貧困時代、偏遠地區、鄉鎮內根本沒有初中，什麼也學不到。小時候就只會唱田邊的歌謠：1只青蛙4條腿、2只青蛙8條腿。

如果我們不知道1只青蛙4條腿，有人問我們，6只青蛙（如插圖下右）有幾條腿？怎麼辦？

因我們知道2只青蛙8條腿，我們就先用除法，8除2得4，便可以知道任何青蛙數的腿數了，大家都可以開心大笑了。

微積分真簡單：1分鐘、3句話

我們知道，長除寬就是斜率，所以斜率乘寬就是長。

初中/國中有教「函數」：意思就是「等號=」的左邊，會跟着右邊變。

要知道微積分是什麼？我歸納爲3句話，不到1分鐘就讀完了：

1.斜率=長/寬，微分就是斜率函數。

把以上公式移項：

2.長=斜率*寬，就是「求長」函數。

3.積分=總加「所有直線長度」，就是面積函數。積分公式前面的「大S」就是sum，即總加；「大S」後面的就是「求長函數」，如插圖下中。

唯教科書是以「導數」「極限」來解釋微分，「求長函數」稱爲「微分方程式」，直線必須稱爲「碎片」，積分公式更具備可怕的形式。數學家用細瑣的術語陳述並沒有錯，因爲要把這套思想應用到更抽象的層面，但他們不是教育家，沒有顧慮循序漸進的說明。

我在臺大、清華、美國喬治亞理工…的工學院都教過書，發現學生背誦能力超強，可惜發展有趣感的機會也不多。

電腦問世後，更可以不知道微積分、統計在講什麼，把大量垃圾丟進軟體，就可以產生大量垃圾論文，寫的人和審的人都不知道在做什麼，無礙升等拿獎助變學閥。

我有次看到有位中研院研究員，寫中研院的一個總體經濟學研討會，對芝加哥學派用微積分解決一個問題，崇拜得五體投地，但其實那是個非常基礎的觀念。

此現象反映了我國自高二就開始「文理分流」的問題，文科學生被剝奪了學數量而驚喜的機會，使我決定創辦「90分鐘變牛頓工作坊」，不是教微積分，而是詮釋牛頓的思想方法，讓每位參加者自己發明微積分。

紅衣大主教願意下問

牛頓是爲解決重力與相關力學的真實問題，而發展分析工具，不是爲數學而數學，這個領悟會使我們眼界一寬，更可透視到人類行爲如政治經濟各方面。

工作坊結束都會問：「變成牛頓的請舉手」，每次每位都舉起了手。

我最感激的是，有已經在美國頂尖大學獲得博士的學霸、系主任，也願意來參加（如插圖上方）。歷史上的宗教改革，必須要有已當了紅衣大主教的人物，願意承認宗教文化有所不足，大環境纔有前進的機會。

以上介述的「斜率函數（微分）」是個固定的簡單規則，其數值不需要計算，看一眼就可以知道。想體驗這種奇妙、恍然大悟的趣味嗎？請參閱《90分鐘變牛頓》：

https://txwu.neocities.org/RwdPurpleWoo/Methodology/Analy-TxCalculussCanon

如你願意從花1分鐘、到花90分鐘瞭解牛頓，你就可能願意再花1年瞭解牛頓的計量思想模式，如何以數字工具解決管理問題、人類取用行爲問題，你會發現連看報上的新聞，都有不同的領悟，敬請參閱《數學樂學》：

https://txwu.neocities.org/RwdPurpleWoo/Methodology/Analy-HappyLearn

平心靜氣想一想：如果連1分鐘的好奇與耐心也沒有，不知道如何分析相對簡單的曲線問題，爲何可以分析相對困難太多的人類行爲曲折問題？

微積分不是要我們計算，而是啓示我們思想方法：知識論與方法論。這2個艱澀的詞，表達卻是簡單而又重要的觀念。

知識論就是如果某類事件會重複出現，則其間一定存在某種「模式」，由「因」與「果」組成，且各因果元素可能存在決定其大小的「參數」。

方法論就是如何找出這些因果元素與參數，以解釋、預測、控制同類事件。

譬如物理現象，牛頓發現的力學模式：F=ma，力F等於質量m乘加速度a，如用在地球重力，則其加速度參數是個近乎固定的值9.8。

生理現象存在：「血壓⇢健康」模式，血壓的參數是「區間參數」，即高血壓的非立即危險值在 120~140之間。生理現象比物理現象複雜，分析需要從牛頓的微積分基礎，再提升到統計多變項方法。

人類行爲現象存在：「53237選民結構⇢投票行爲」模式，其中的參數更是變動參數，由「53237」可到「2111-15」，其中每個「1」，在臺灣地區代表「50萬人」，其變異區間更大，分析更困難，必須更提升到非等機率分析方法。

這就出現一個有趣現象，許多網紅名嘴對天下大事，無不可談。但請教其微積分問題，馬上謙虛表示「完全不懂」。正如七層寶塔還沒建第一層，卻宣稱可在第七層看風景？

不過，這個也有人類行爲理論可以解釋，這些網紅名嘴是對總量最多的同質羣衆提供「抒壓」功能，彼此交流的是「相信」，而非「理性抉擇」。擅長者還可能激情動員，但，對提供問題與解決，機會是比較少的。

牛頓在學時，並不被大多數教師看好，因爲他不像一般的「好學生」汲汲營營於「唸經」，而是追求思想，偏偏這也是表面上看不出來的。幸而系主任很欣賞他，後來又把他找回學校任教。當時是權威社會，系主任說了算數。如果是今天大學的聘用投票制，牛頓恐怕就被擋在門外了吧？

這個典故使我感觸：在大衆團體中，決策經常影響很多人，採用投票決策也許不錯，因爲投票一定導出中庸結果，不會有大利，但也不會有大弊，是對大衆「安全」的程序。然而，在小團體中-譬如真正的學術研究機構，由極少數人來負全責，纔可能看得見牛頓、有較創新的決策。

凡是真正創新，一定與當代的主流不合。牛頓年輕時有些創新研究，並不被當時世界上最頂尖、最有聲望的學術機構「皇家學會」接受，雙方曾有緊張關係。

創新一定與當代主流不合

牛頓的代表作《自然哲學的數學原理》不僅發明（或與萊布尼茲同時發明）了微積分，更是奠定古典物理學體系之作。這本開創歷史的書，曾經送「皇家學會」審閱並表達出版意願，但未獲得學會補助，最後由他的富有朋友-哈雷的資金支持才得以出版。

牛頓的《原理》爲後來的工業革命提供了預測與控制的基礎，由經驗設計轉向模式分析。這些應用貢獻使牛頓在老年聲名大噪，比伽利略的純理論革命較能被看到。

伽利略和牛頓的接力合作，說明了「創新知識」的2大工具：實驗方法與計量方法，兩者應相輔相成。

我一生有幸遇到過許多好老師，多半都是帶我認識某一專門領域，而有七位老師，教我的是整合性的思想方法，他們是：孔子（請參見本專欄《執筆、撥琴、斜背弓─孔子真形象》）、亞理斯多德（《亞理斯多德─以學生爲中心的全能老師》）、伽利略（《伽利略告訴我們 真理總是被晚點理解》）、牛頓、愛因斯坦、闢二聲 Pearson（統計第二計量思想發明者）、蕭何（與其後輩，發現如何將人類「私利緊密結合」而發酵成爲公利的亞當.私密）。

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習近平國慶談話：「堅決反對臺獨分裂行徑和外部勢力干涉。」

鮮少媒體注意到，上次兩者並舉是2022習近平二十大報告:「針對的是外部勢力干涉和極少數臺獨分裂分子。」這次語序與修辭，把外部勢力與臺獨對調，而「極少數」消失了。

川普習慣信口開合經常被擴大報導，大陸強人體制下的微言大義，反而容易被忽略。

如果是二元論，是重大危機。但牛頓教導我們多元論，雙兩岸三地人民都「反對外部勢力干涉」，若看到求同存異部分則爲臺灣可居中協調的轉機。

（作者爲臺灣民調創始人、臺美兩地資訊與管理退休教授）

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