改變人類歷史的17個方程，你知道幾個？

數學是一種美妙而優雅的東西，它隱藏在我們生活的方方面面，卻又難以察覺，而這需要一雙慧眼才能看到。2013年，科普作家伊恩·斯圖爾特 (Ian Stewart) 就專門出了一本書，名叫《17 Equations That Changed The World (改變世界的17個方程)》。幫我們更多的瞭解它們。現在我們將其列舉出來，看看你都掌握着哪些呢？

這一定理是我們理解幾何學的基礎。它描述了平面中直角三角形幾條邊的關係：兩條短邊a和b，它們的平方相加等於長邊c的平方。在某種程度上，這一方程將我們通常的歐幾里得幾何與曲面的非歐幾里得幾何區分開來。比如，一個畫在球體表明的直角三角形並不遵循勾股定理。工程技術人員用勾股定理比較多，比如農村房屋的屋頂構造,就可以用勾股定理來計算，設計工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關的數據時，多數可以用勾股定理。物理上也有廣泛應用，例如求幾個力，或者物體的合速度,運動方向古代也是大多應用於工程，例如修建房屋、修井、造車等等。

對數方程可以理解爲指數方程的反向公式。它旨在求一個底數的多少次方可以得到給定的量。比如，以10爲底1的對數表示爲lg(1)=0，因爲這裡1 = 10º；lg(10) = 1，因爲10 = 10¹；很自然地，lg(100) = 2。圖中公式lg(ab) = lg(a) + lg(b)展示了對數方程最有用的一個功能：將乘法轉化爲加法。在現代數字計算機普遍應用之前，這一直是快速計算大數乘法的便利手段，在物理學、天文學和工程學計算中起到了重要作用。

圖中公式爲微積分中導數的定義。導數可理解爲一個數量的變化率。比如，我們可以把速度看作是位移的導數。如果我們步行的速度是每小時4公里，那麼每個小時，我們的位移變化爲4公里。實際上，很多研究都着眼於事物是如何變化的。而導數與積分 (微積分的另一個重要公式) 是數學家與科學家們理解變化的根本工具。

牛頓的萬有引力定律描述了兩個物體間的引力作用F。其中G爲萬有引力常數，m1和m2表示兩個物體的質量，r爲物體間距離。在科學史上，牛頓的這一筆有着舉足輕重的地位。它不僅解釋了地球上的重力作用，還幾乎完美地詮釋了行星的運行方式。這已經擴展到了太陽系，甚至整個宇宙。牛頓的萬有引力定律作爲經典引領了物理學200餘年，直到愛因斯坦的廣義相對論出現才被替代。

數學家們一直在對數字進行細分，自然數、負數、小數、實數……後來，出現了虛數單位i，它表示-1的平方根。人們這纔開始知道複數。從數學上講，複數是極爲優雅的。這種代數結構漂亮地解決了我們的需求——任何方程都具有複數解。這對實數來說當然是不可能的，比如x2+ 4=0這種東西。微積分也被擴展到複數當中，我們藉此發現了這些數字的奇妙特質，比如對稱性。這些屬性是電子學和信號處理的重要基礎。

多面體是多邊形的三維版本，好比立方體之於正方形。多面體的每個角叫做頂點，頂點的連線稱爲棱，棱所形成的多邊形是面。一個立方體擁有8個頂點，12條棱和6個面。我們算一下，頂點數加上面數，再減去棱數，8+6-12=2。歐拉的多面體定理告訴我們，只要給定一個常規的多面體，那麼頂點數加面數再減去棱數，結果一定是2。無論它有多少個面。這一發現是我們後來稱之爲拓撲不變量的第一條內容。在拓撲不變量中，同類型物體的一些屬性和數量是彼此相似的。對於所有“常規的”多面體來說，V+F-E=2。這一定理以及歐拉對“柯尼斯堡七橋問題”的解答奠定了拓撲學的基礎。這個數學的分支對近代物理學有着重要意義。

正態概率分佈圖近似於鐘形曲線，在統計學中應用甚廣。物理學、生物學和社會學都廣泛採用正態曲線作爲不同研究對象的模型。其應用如此廣泛的主要原因在於它可以描述大量獨立過程的行爲表現。

波動方程描述了波的行爲，比如吉他琴絃的振動，石子擲入湖水後的漣漪，或者白熾燈泡的燈光。波動方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，隨着技術發展，解決這一方程也爲人們理解其他微分方程打開了一扇門。

傅里葉變換是一種理解複雜波形的方法，比如人類演講的波形。像人說話這樣複雜混亂的聲波函數，通過傅里葉變換，可以被拆分爲若干個簡單波形的組合。這大大簡化了分析過程。傅里葉變換可以稱爲現代信號處理、分析以及數據壓縮的核心。

像波動方程一樣，這是一個微分方程。納維-斯托克斯方程表述了流體的行爲，比如水流過管道，氣流掠過機翼，或者雪茄上在冒煙。目前人們可以得到方程的近似解，並能夠通過計算機很好地模擬流體運動。不過，能否在數學上獲得納維-斯托克斯方程的精確解仍然是一個未解決的問題。

這組偏微分方程描述了電場 (E) 和磁場 (H) 之間的行爲與關係。麥克斯韋方程組對於經典電磁學的意義就像牛頓的運動定律和萬有引力定律對於經典力學一樣重要。它們是理解我們日常生活中電磁現象的基礎。不過我們知道，現代物理學裡對電磁學已經有了量子力學層面的解釋。這些優美的公式在宏觀世界裡雖然非常適用，但這只是一種近似表達。

該定律可表述爲，在一個封閉系統內，熵 (S) 總是穩定或者增長的。粗略地講，熱力學中的熵是對系統混亂程度的度量。一個系統初始是有序的，假如一塊高溫區域挨着一塊低溫區，那麼非均勻狀態將趨向變爲均勻狀態，即熱量會從高溫區流向低溫區，直到分佈均勻。熱力學第二定律是物理學中少有的與時間相關的定律。大多數物理過程都是可逆的，我們大可以把方程倒轉過來，不會有什麼影響。然而熱力學第二定律只能按照一個方向進行。如果我們把一個冰塊放進熱咖啡中，我們將只能看到冰塊融化，從來不會看到咖啡凍結。

愛因斯坦憑藉他的狹義相對論和廣義相對論徹底地改變了物理學進程。這一經典的方程表明質量與能量是等同的。狹義相對論告訴人們宇宙中的速度極限是光速，而以不同速度運動的物體所經歷的時間也是不同的。廣義相對論則把引力看作是捲曲摺疊的時空本身。這是自牛頓的萬有引力定律以來我們對引力認識的第一次重大改變。廣義相對論是我們理解宇宙起源、宇宙結構以及最終命運的基礎。

這是量子力學中的主要方程。廣義相對論在宏觀上解釋了我們的宇宙，這個方程則在微觀上主宰了原子與亞原子粒子的行爲。量子力學和廣義相對論是歷史上最爲卓越的兩大理論。目前所有實驗觀測到的現象都與這兩大理論相一致。量子力學也是衆多現代科技的根本，比如核能、半導體計算機以及激光等等。

這一方程即香農信息熵。與上述熱力學熵類似，這也是對混亂程度的測量。它測量一切可以表達的信息內容，比如一本書，一張互聯網上的JPEG圖片等等。香農信息熵給出了我們可對信息進行無損壓縮的程度下限。這一理論引發了對信息學的數學研究，它是我們今天網絡交流的基礎。

這一公式即生物學家Robert May的單峰映射。它最初描述的是隨着時間的演進，種羣數量將由X變爲Xt+1。給定常量k，那麼前景圖將是混亂的：以X爲起始值，演進過程是一種方式；但以另一個量爲起始值，演進過程將完全是另一種樣子，哪怕這個量與X非常接近。如我們所見，混沌行爲對於初始條件非常敏感。天氣變化就是個經典的例子——今天大氣層條件的微小變化將導致幾天後氣象系統的截然不同，這也可以理解爲我們常說的蝴蝶效應。

作爲另一個微分方程，布萊克-斯科爾斯公式描述了金融專家和交易人如何爲金融衍生品定價。諸如股票之類的金融衍生產品是現代金融系統的重要組成部分。基於基礎資產和衍生品的屬性，布萊克-斯科爾斯公式可以幫助人們計算這些金融產品的價值。

這些方程，不僅能夠幫助人們解決知識上的問題，同時，從某種角度來看，它們本身也是非常美麗的。許多科學家都曾坦承，自己非常喜歡某些方程式，並不僅僅因其功能，更在於它們所表現出的那種簡約而不簡單、形式如詩句般優雅的美感。這些方程式逐漸的影響着世界文明進程的變化發展。