宇宙誕生時的嬰啼——來自暴脹的隨機引力波背景

|作者：郭宗寬1,2,3,† 皮石1,4,5,††

(1 中國科學院理論物理研究所)

(2 中國科學院大學物理科學學院)

(3 國科大杭州高等研究院基礎物理與數學科學學院)

(4 北京大學高能物理研究中心)

(5 東京大學 卡弗裡數物連攜字宙研究機構)

本文選自《物理》2025年第7期

摘要文章將介紹起源於宇宙極早期暴脹階段的引力波。暴脹是宇宙熱大爆炸開始之前的一段短暫的加速膨脹階段，在暴脹期間，起源於量子擾動的曲率擾動和張量擾動都被拉伸到宏觀尺度上。前者是大尺度結構和微波背景輻射各向異性的起源，後者則能形成原初引力波。在下一階，曲率擾動的四極矩可以作爲引力波源，特別是增強的曲率擾動同時能夠形成大量原初黑洞和可觀測的次級引力波，而後者是空間引力波探測的重要科學目標。

關鍵詞隨機引力波，早期宇宙，暴脹，原初黑洞

01

引 言

人類對自然界的好奇心驅動着科學和社會的進步。宇宙是人類所能認識的最大客體，而宇宙的起源和演化則是人類探索的終極問題。自從哈勃觀測到宇宙膨脹以來，宇宙學已成爲精確的現代科學。隨着觀測精度的逐漸提高，人們已經漸漸認識到宇宙極早期(年齡約10-36 s 到10-32 s時)曾經經歷過一段短暫而劇烈的加速膨脹過程，稱之爲暴脹[1—5]。這段短暫的加速膨脹過程可以解決熱大爆炸宇宙學中存在的一些理論疑難，例如宇宙爲什麼是空間平坦的、宇宙各個角度看上去爲什麼如此一致、爲什麼觀測不到大統一理論預言的磁單極子，等等。

暴脹的物理本質仍然是一個開放的前沿科學問題，而唯象上來說可以用許多不同的模型實現。目前大部分科學家認爲，暴脹由一個勢函數非常平坦的標量場驅動。當標量場在勢函數上滾動時，由於宇宙膨脹的動力學摩擦影響，很快到達吸引子狀態，且暴脹場的動能遠小於勢能，因此暴脹場貢獻的能量密度近似爲一個宇宙學常數，能夠驅動時空近指數式地加速膨脹。隨着暴脹的持續，暴脹場逐漸滾動至其勢函數的極小值點附近，其動能項逐漸增長。當暴脹場的動能項不能忽略時，暴脹結束，且暴脹場開始在勢函數底部滾動並振盪。這時，暴脹場的能量會通過一系列複雜的參數共振過程——稱爲預加熱和重加熱——轉移到與之耦合的粒子特別是標準模型的粒子中去，並很快實現局域熱平衡。在這之後，宇宙進入輻射爲主時期，我們通常說的熱大爆炸宇宙就是指的這個階段。

早在20世紀六七十年代，對星系、星系團等大尺度結構的統計已經發現，宇宙極早期必須存在一個近標度不變的原初曲率擾動，但其起源一直得不到很好的解釋。暴脹宇宙學提出後，人們發現它可以把極小尺度上的時空量子擾動拉伸到宇宙學尺度上，自然地解釋了曲率擾動的初始條件[6]。最近幾十年對微波背景輻射和星系巡天的觀測已經進一步確認了原初曲率擾動的大小爲10-5 [7]，且統計上是近似高斯的[8]，這反映了原初擾動的量子起源。

原初引力波是暴脹宇宙學的另一個重要預言，它由暴脹將張量形式的空間度規擾動拉伸到宇宙學尺度上而產生[9]。目前的原初引力波能量密度可以用暴脹時期的張量擾動譜除以物質輻射相等時刻的紅移因子來估算，其結果小於10-16。這麼小的強度在未來的引力波探測器上是很難探測到的。因此人們專注於原初引力波在微波背景輻射上產生的一種稱爲B模偏振的特殊圖樣。目前有多個探測器對此進行進一步的探測，包括南極的BICEP2、KeckArray、日本的LiteBIRD、中國的AliCPT等。

十年前，激光干涉引力波天文臺(LIGO)首次觀測到來自雙黑洞合併的引力波信號[10]，標誌着引力波天文學和引力波宇宙學的誕生。目前，LIGO聯合Virgo、KAGRA已經觀測到數百例類似的引力波信號[11]。對這些信號的研究極大推進了人們對恆星形成與演化、黑洞物理、中子星物理、大尺度結構、哈勃常數測量等問題的認識。

除了已經探測到的時變信號之外，還有一種重要但還沒有探測到的信號是來自不同方向的不相干引力波疊加而成的隨機背景。這種隨機引力波背景的存在不隨時間變化，但是其能譜和引力波探測器的噪聲譜不同。將多個獨立引力波探測器的噪聲數據取關聯，就可以壓低噪聲，並以更高的靈敏度探測隨機引力波背景。例如，遙遠的雙黑洞併合信號無法一一分辨出來，可以疊加出隨機背景信號。但最重要的還是來自於早期宇宙尤其是暴脹的隨機引力波信號。本文將主要討論這一類引力波的產生機制。

02

引力波的基本知識

上面已經談到原初引力波起源於暴脹期間時空本身的量子擾動。準確說來，這種量子擾動會使得在空間上局域地測量距離時發生變化。如果用時空線元來寫的話，這種變化是：

其中，

因此引力波帶來的距離變化總是垂直於傳播方向，且保持面積不變。愛因斯坦場方程的空間部分可以給出它的運動方程爲

其中，

宇宙學家習慣用引力波能量密度譜來描述引力波，爲此需要先定義引力波攜帶的能量。在廣義相對論中，由於等效原理和廣義協變性的限制，無法爲引力場定義座標無關的局域能量密度。然而，在存在引力波的情況下，度規的張量部分通常可以分解爲低頻緩變的背景度規和高頻短波長的“引力波”度規兩部分，後者貢獻的曲率張量做時間平均之後就可以用來定義等效的平均能量密度：

這種方法稱爲“短波長近似(short-wavelength approximation)”[12，13]。利用這個引力波能量密度，就能定義引力波能譜，並進而仿照其他密度參數用宇宙的臨界密度

很明顯，作爲一種輻射，來源於暴脹以及早期宇宙的引力波能譜不能大於今天宇宙中的輻射物質的密度佔比

引力波探測器對隨機引力波背景的探測能力可以用各探測器的噪聲以及實驗的運行時間算出[14，15]。目前LIGO給出的限制是在

03

暴脹期間的量子擾動和原初引力波

自從伽莫夫提出大爆炸宇宙學並得到微波背景輻射的觀測證實以來，大爆炸理論已經成爲現代宇宙學的基石。然而，隨着觀測精度的逐步提高，傳統的熱大爆炸宇宙學也暴露出了一些問題。例如，當我們從天空中兩個相距較遠的方向看過去時，這兩個方向上的微波背景輻射的溫度在百萬分之一的水平上驚人地相等，而在早期宇宙中因果連通區域(稱爲“視界”)遠小於這兩點之間的距離，因此沒有任何物理過程能保證它們的溫度相等，這稱爲視界疑難。另外，最近的觀測表明宇宙在空間上是非常平坦的，但空間曲率隨着宇宙膨脹應該是越來越大，因此這要求宇宙的初條件必須微調空間曲率才行。在1980年左右，多位學者幾乎同時考慮到，如果在熱大爆炸宇宙之前宇宙經歷過一段加速膨脹的階段，則這些問題可以得到解決[1—5]。Alan Guth將此階段稱爲“暴脹宇宙(inflationary universe)”，沿用至今。人們隨即發現，暴脹時期產生的亞視界尺度的量子漲落被空間的加速膨脹拉伸到宏觀尺度上，可以作爲 現在宇宙中觀測到的密度擾動不均勻性的初條件[6]。這個擾動早在六七十年代就已經在星系宇宙學被發現，隨後的微波背景輻射各向異性更是在百分之幾的水平上確認了這個原初曲率擾動的值是10-5左右[36]。

作爲最早提出宇宙早期加速膨脹概念的人之一，Alex Staorbinsky立即意識到加速膨脹能夠在可觀測的尺度上產生引力波，並估算了它在大尺度上的振幅[9]。簡而言之，張量擾動

其中

再根據不確定性原理及Δ

公式最右邊已經按照標準的正則量子化方法算出的精確結果補上了估算缺失的係數。由此可以看出，原初張量擾動譜由暴脹時期的哈勃參數唯一確定，因此對它的觀測可以確定暴脹發生的能標。由於共動曲率擾動的功率譜已經觀測到，通常用張標比來表示張量擾動的功率譜幅度。目前Planck衛星對B模偏振的觀測給出的最好限制是

(8)式描述的近似常數的張量擾動一旦進入視界，就要開始演化。此時∇≫

且這個值基本不隨頻率變化。更加準確的原初引力波的能譜計算要考慮到張量擾動的精確解、進視界時刻的相對論性自由度數、進視界後的轉移函數、中微子自由沖流的各向異性作爲源項等細節。換句話說在遙遠的未來，如果人類能夠直接觀測到原初引力波能譜，則其振幅上的微小起伏可用於探測早期宇宙的各種複雜 演化過程和新物理。具體可參考[39—43]等文獻中的結果。我們在圖1中複製了文獻[43]中給出的原初引力波能譜的精確結果。

圖1　考慮到

根據(9)式的估算結果，原初引力波能譜在主要可探測頻段上小於10-15，而現有的引力波探測技術很難達到這個靈敏度。從探測的角度考慮，需要引入一些新物理相關的增強機制，例如原初張量藍譜、超相對論性物態主導階段等。另外一種思路就是在(3)式中考慮次級的源項。我們接下來就介紹這個機制。

04

原初曲率擾動誘導的次級引力波

由於真空漲落產生的原初引力波的振幅很小，我們需要考慮一些通過源項增強的引力波。例如，原初流體的能流的二次型可以構建各向異性的應力張量，因此可以作爲引力波的源。而這個能流是由之前已經談到過的標量形式的原初擾動(曲率擾動)產生出來的，因此等價於用曲率擾動梯度的二次型——曲率擾動的四極矩——作爲引力波的源項。這樣產生的張量擾動稱爲標量誘導的次級引力波[44—52]。類似地，矢量場(例如原初磁場或暗光子)和張量擾動(例如暗引力子)也都可以誘導出次級引力波。本文中我們僅介紹原初標量擾動的例子，因爲它最簡單，而且在觀測上也最重要。

我們先不管類似於譜卷積、轉移函數、角積分之類的具體計算細節，根據這種引力波的“次級”耦合特性，以及它們主要是在重入視界時刻前後產生出來的事實，就可以估算出其產生時刻的能譜約爲。產生之後，引力波隨着背景輻射一起衰減，因此它在今天的能譜可以估算爲

其中是曲率擾動的原初功率譜。觀測結果告訴我們，在大於1 Mpc的尺度上有~10-9，且這個譜是近似標度不變和高斯型的[53]。如果認爲這個近標度不變譜可以外推到小尺度去，則誘導引力波能譜爲

這樣的信號就很容易在空間引力波探測器、下一代脈衝星測時陣列、下一代地面引力波探測器上被觀測到了。

小尺度上增強的曲率擾動功率譜還可能產生另外一種奇妙的天體——原初黑洞。目前的黑洞形成理論一般都認爲，大質量恆星內部的物質通過聚變反應燃燒殆盡之後，殘餘的輻射壓無法維持其體積，因此部分物質會向恆星內部坍縮，並在超過奧本海默極限之後形成極其緻密、以至於光也無法逃逸的天體——黑洞。這一類黑洞在宇宙中大量存在，幾十年來已經爲X射線、引力波、射電等多波段觀測所證實。除此之外，還有一種不需要恆星坍縮也可以形成的黑洞，即原初黑洞。它是在早期宇宙中由較大的曲率擾動直接導致的引力坍縮產生的[54—59]。形成大量原初黑洞同樣需要在小尺度上增強曲率擾動的功率譜，因此它們和曲率擾動誘導的次級引力波是兩種互相有聯繫並可以交叉檢驗的現象。原初黑洞的形成和曲率擾動誘導的次級引力波的產生都發生在增強的曲率擾動模剛進入哈勃視界的那段時間，因此前者的質量和後者的波長都由這個時刻的視界尺度決定。它們滿足如下關係[60]：

目前的觀測限制表明，質量約等於小行星質量(1016 g到1022 g)的原初黑洞可以在宇宙中大量存在，甚至可以作爲全部暗物質。此類原初黑洞的施瓦西半徑只有飛米(fm)到納米的量級，無法用光學手段(微引力透鏡效應)觀測。萬幸的是，它們對應的次級引力波的峰值頻率大概是10-3—0.1 Hz左右，正好落在空間引力波探測器的頻段。具體計算表明，在高斯統計的情況下，原初黑洞作爲全部暗物質所需的原初功率譜大概是~10-2。通過(10)式可估算出其對應的誘導引力波能譜爲

圖2 曲率擾動功率譜存在窄峰且當質量約爲10-12

05

結論及展望

起源於暴脹宇宙的隨機引力波背景是多個引力波探測計劃的重要科學目標。我們在本文中簡要介紹了該領域的基本知識和近期發展，主要包括引力波能譜的定義、原初引力波的量子起源和振幅估算、標量誘導的次級引力波以及它與原初黑洞的關係等內容。

與LIGO觀測到的引力波不同，隨機引力波能譜不隨時間變化，因此在時域的表現就像噪聲。不過，在頻域，它的譜形通常依賴於其引力波源的性質。因此在做信號識別之前，必須要從理論上找到起源於極早期宇宙的引力波信號的譜形特徵和信號識別方法。文中首先回顧了短波長近似下的引力波攜帶的能量密度及能譜的定義，它是描述早期宇宙引力波的一個重要物理量。然後討論了暴脹宇宙學，特別是起源於暴脹期間量子擾動的空間度規的橫向無跡分量——它就是原初引力波的源。原初引力波是暴脹理論最重要的預言，是暴脹存在的決定性證據。我們根據原初張量擾動的量子性質和引力波的波動方程估算了原初引力波今天在主要觀測頻段的幅度，發現它小於10-15，因此在未來是很難探測的，除非存在張量擾動藍譜或者硬物態等較爲奇異的新物理。

到下一階，曲率擾動的四極矩可以作爲引力波的源項，這稱爲曲率擾動誘導的次級引力波。如果小尺度上曲率擾動能夠增強，則這種次級引力波可能會超過原初引力波，更早地被觀測到。有趣的是，增強的曲率擾動能夠在宇宙極早期產生黑洞。其中，小行星質量的原初黑洞是一種重要的暗物質候選者，它對應的次級引力波信號落在毫赫茲頻段，因此探測該信號是空間引力波探測器的重要科學目標。

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引力波宇宙學專題

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