深層分析無限到底有多大，無限也有大小之分你敢信嗎？

我們上學的時候，相信老師都告訴過我們：偶數和整數一樣多。

真的是這樣嗎？也多，因爲偶數和整數都是無限多，所以大概真是一樣多吧。但另一方面，偶數只是整數的一部分，還有剩下的奇數呢，所有整數應該比偶數多，不是嗎？

爲了方便理解，先看一下“兩個集合一樣大”是什麼意思。當我說我的右手和左右的手指一樣多是什麼意思？當然，兩隻手都是五根手指，但實際上更簡單，根本不用輸，只要看到它們能一對一地匹配起來就夠了。

事實上，我們認爲有些古代人說的語言裡沒有一個詞能表達大於三的數，就用過這種魔法。例如，把羊從羊圈裡放出去吃草，要記錄出去了多少頭羊，只要每出去一頭就在旁邊放一塊石頭，等羊回來的時候再把石頭一塊一塊拿回去，就知道羊有沒有丟，而不必一個個數。

再舉個例子來說明匹配比計數更基本。假如你在擠滿人的大講堂演講，每個座位都坐了人，而且沒有人站着，那你就很清楚椅子的數目跟聽衆的人數一樣多，即使你不知道兩者的具體數目。

因爲，這裡所說的兩個集合一樣大的實際意思是，兩個集合中的元素可以按某種方式一對一匹配起來。

因此再回到老師給我們說的整數和偶數一樣多的問題，整數擺成一行，每個數下面寫下它的兩倍，我們能很清楚地看到，下面那行包含了所有的偶數，兩行數字一對一的匹配起來，也就是說，整數和偶數一樣多。

但依舊讓我們苦惱的是，偶數看起來只是整數的一部分這個事實。事實上，如果以某種方式匹配元素不成功，那是不要緊的，說明不了任何事。只要找到一種方式，讓兩個幾何的元素能夠匹配，就可以說明兩個幾何有同樣多的元素。

再問一個問題，所有的分數能排成一列嗎？或許很難，因爲分數實在太多了，而且一下子看不出哪個該排第一，還有該如何確保它們全都在列表中？

不過有個非常機智的辦法能把所有的分數排成一列。這是19世紀末，格奧爾格-康托爾最先辦到的。

首先，把所有分數擺成方陣，全都在裡面。比方說要找117/243，它就在第117行，第243列。我們由此排出一列，從左上角開始，按對角線來回掃蕩，跟已經選過的某一個表示同一個數的分數，跳過像2/2這樣的，這樣我們就得到所有分數的一張列表，也就意味着我們在整數和分數之間構造了一對一的匹配，儘管我們原以爲分數或許應該更多！

真正有意思的還在後面。

我們都知道，並非所有的實數，即並非數軸上所有的數都是分數，比如根號2或者π，像這樣的數叫做無理數，並不是說它們發瘋了不講道理，而是因爲分數是整數的比（理），所以叫有理數，這意味着其餘的是不成比的數，即無理數，無理數用無限不循環小數表示。

那麼，我們能否在整數和所有小數的集合之間建立一對一的匹配呢？就類似下面這張圖，有理數和無理數都包括。

也就是說，所有的小數能排成一列嗎？

康托爾證明了這是辦不到的。不是不知道怎麼辦，而是根本辦不到。也就是說小數不可能排成一列，它們表示了比整數的無限更大的一種無限。所以，儘管我們熟知的無理數只有那麼幾個，像根號2和π，但無理數的無限其實要大於分數的無限。

有人曾說過，有理數（分數）就像夜空裡的星星，而無理數則像無邊的黑暗！

康托爾還證明，對於任何一個無限集合，只要用原集合的所有子集組成一個新的集合，就表示了比原集合更大的一種無限。這意味着，只要有了一種無限，就一定能造出更大的無限，只要做出第一個集合的所有子集的集合。然後還能造出更大更大的無限，只要做出後者的所有子集的集合，這樣不斷重複做下去！因此，大小不同的無限共有無限多種！

這些想法可能讓你很難受，一時也難以接受，事實上並不只有你這樣覺得，康托爾時代一些最偉大的數學家也對此十分反感，他們想把這些無限變成無關緊要的，想辦法讓數學不用它們也能運作。康托爾甚至還遭到人身攻擊，情況壞到使他患上了嚴重的抑鬱症，後半生都在反覆出入精神病院。

但是他的想法最終勝出。如今它們被視爲基礎性的偉大的思想，做研究的數學家全都接受這些觀念，所有大學的數學專業都學習它們！也許有一天，它們會成爲常識！

但是還沒有完。剛剛指出了小數（即實數）的集合是比整數集合更大的無限，康托爾想知道這兩種無限之間是否還存在了大小不同的無限。他相信沒有，但卻無法證明這一點。

康托爾的猜想後來被稱爲“連續統假設”。1900年，數學家大衛-希爾伯特將連續統假設列爲數學中最重要的未解決問題。1940年，庫爾特-哥德爾證明了“連續性假設不可能被證明”是不對的。而在隨後的1963年，保羅-庫恩證明了連續性假設不可能被證明是對的！

這些成果合起來表明，數學中存在着無法回答的問題，這真是令人震驚的結論。數學被恰當地視爲人類推理的塔尖，但現在我們知道了就連數學也有它的侷限，儘管如此，數學還是有一些真正奇妙的東西供我們深思！