克萊因-戈登方程（Klein-Gordon equation）KG

克萊因-戈登方程（Klein-Gordon equation）是相對論性量子力學裡第一個被認真提出的自由粒子波動方程，它把狹義相對論的能量-動量關係「量子化」成了波函數所滿足的偏微分方程。

克萊因-戈登方程是“把愛因斯坦的能量-動量關係量子化後最直白的表達式”，它雖不適合做單粒子量子力學，卻成爲量子場論裡自旋 0 場的基本動力學方程，連接了粒子物理、宇宙學和凝聚態對稱破缺理論。

1. 從經典到量子的“升維”思路

1.1 非相對論極限

非相對論的德布羅意關係 E = ħω，p = ħk 與能量-動量關係 E = p²/2m 結合，得到薛定諤方程

iħ∂ₜψ = –(ħ²/2m)∇²ψ。

問題在於它是二階空間導數、一階時間導數的“不對稱”結構，本質上只適用於 v ≪ c。

1.2 相對論能量-動量關係

狹義相對論給出 E² = p²c² + m²c⁴。

把 E、p 換成算符：

E → iħ∂ₜ， p → –iħ∇。

代入後得到

(iħ∂ₜ)²ψ = (–iħ∇)²c²ψ + m²c⁴ψ。

整理即克萊因-戈登方程

(□ + (mc/ħ)²)ψ = 0，

其中 □ ≡ (1/c²)∂ₜ² – ∇² 是達朗貝爾算符。

2. 方程的結構與記號

四維記號：x^μ = (ct, x, y, z)，∂μ = (∂/∂(ct), ∇)。

定義 □ = ∂μ∂^μ = (1/c²)∂²/∂t² – ∇²。

令 κ = mc/ħ（康普頓波數的 2π 倍），則最緊湊形式

(□ + κ²)ψ = 0。

3. 平面波解與色散關係

把 ψ(x,t) = e^{–iEt/ħ + ip·x/ħ} 代入，得

–E²/ħ² + p²c²/ħ² + m²c⁴/ħ² = 0 ⇒ E = ±√(p²c² + m²c⁴)。

出現 負能解 是早期拒絕 KG 方程的理由之一，後來由量子場論解釋爲反粒子。

4. 概率解釋困境

從 KG 方程可構造守恆四流

j^μ = (iħ/2m)(ψ∂^μψ – ψ∂^μψ)，

其中 j⁰ = ρ = (iħ/2mc²)(ψ∂ₜψ – ψ∂ₜψ)。

ρ 並非正定的，因此不能直譯成概率密度——這是 KG 方程在單粒子圖像下失敗的核心原因；只有在 量子場論 中把 ψ 升爲算符，ρ 解釋爲電荷密度而非概率密度，問題才解決。

5. 拉格朗日形式與對稱性

拉格朗日密度

L = (∂μψ)(∂^μψ) – (mc/ħ)²ψψ。

全局 U(1) 變換 ψ → e^{iθ}ψ 給出守恆電荷（Noether 定理），即上述 j^μ。

如果耦合電磁場，把 ∂μ → D_μ = ∂μ + iqA_μ/ħc 即得到 帶電標量場 的克萊因-戈登-麥克斯韋系統。

6. 推廣與角色

自旋：KG 方程描述 自旋 0 的粒子（如 π⁰ 介子、Higgs 玻色子）。

彎曲時空：把 □ 換成彎曲度規下的達朗貝爾算符 □g，即得到彎曲時空標量場方程

(□g + (mc/ħ)²)ψ = 0，

這是研究宇宙膨脹、黑洞輻射的常用工具。

非線性版本：加入 λ|ψ|⁴ 項就變成經典或量子的 φ⁴ 理論。