華人女數學家提前鎖定菲爾茲獎？王虹127頁破解幾何世紀難題，陶哲軒盛讚

新智元報道

編輯：編輯部

【新智元導讀】2月26日，華人數學家王虹和Joshua Zahl的一篇論文，在數學圈炸開了鍋。幾何測度論中最矚目的未解難題——Kakeya集合猜想，已在三維空間中被成功證實！多人猜測：王虹或能鎖定下屆菲爾茲獎。

一個困擾數學家一個多世紀的超級難題，如今被北大校友攻克了！

最近，紐約大學和不列顛哥倫比亞大學數學教授聯手，用一份長達127頁證明，正式宣告——「Kakeya集合」猜想塵埃落定。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.17655

而且，這項研究得到菲爾茲獎得主陶哲軒極大地肯定，他激動地表示：

Kakeya集合的核心問題是——如果你要在空間裡「轉動」一個線段，讓它覆蓋所有方向，最小的空間需要多大？

掛谷猜想源於日本數學家掛谷宗一（Sōichi Kakeya）1917年提出的一個幾何問題

數學家們早已知道，2D平面不夠用，必須通過3D空間來解決問題。

但關鍵在於，能否找到一個「超級小」的3D區域，仍讓這個線段指向每個方向？

如今這個謎團，被破解了！

王虹和Joshua Zahl教授通過層層推導，精妙的邏輯和計算，研究了在ℝ³中具有以下性質的δ管（δ tubes）集合：即不會有太多管道被包含在同一個凸集V內。

王虹現任紐約大學庫朗數學研究所（NYU Courant）數學副教授，北大數學系本科畢業；Joshua Zahl現任不列顛哥倫比亞大學數學系副教授。

他們得出，來自這樣一個集合的管道的並集，必須具有幾乎最大的體積。最終證明了ℝ³中的每個Kakeya集，都具有Minkowski和Hausdorff維數3。

一時間，全網忍不住猜測：如果這篇論文最終通過嚴格的同行評審，王虹極有可能成爲中國首位獲得菲爾茲獎的數學家，以及全球第三位拿下菲爾茲獎的女性得主。

前兩位分別是，伊朗裔美國數學家Maryam Mirzakhani和烏克蘭數學家Maryna Viazovska。

作爲數學界至高榮耀，菲爾茲獎每4年頒發一次，只給40歲以下的數學家。

王虹一度登上2026菲爾茲獎得主賠率榜首

DeepMind的研究科學家Lechao Xiao震驚表示：之前，從未想過有生之年能看到此猜想被證明。

這一次，中國數學家即將成爲開拓者，將在數學史上留下濃墨重彩的一筆。

北大瘋人院畢業，學霸典範

提起王虹，不是數學圈內的人，鮮有人知。

1991年，她出生於山水甲天下的桂林。父母都是廣西平樂縣沙子中學的普通教師，家庭書香氛圍濃厚。

然而，命運似乎很早就給這個聰慧的女孩，設置了一大考驗。

5歲入學，兩次跳級

4歲那年，一次意外的右臂燙傷，讓王虹遭遇了一場磨難。

但這並沒有成爲她心裡的陰影，更沒絲毫動搖她對知識渴望的決心。

入學前，在父母的悉心教導下，年僅5歲的她便已經掌握了一年級的全部知識，憑藉超強學習能力，她直接跳級進入了小學二年級。

在學習方式上，王虹有着自己的獨特的節奏。她不會等待老師的授課進度，而是習慣在每學期開始前，就將整個學期的課本自學完畢。

面對難題，她也極少直接向老師求助，更傾向於獨立思考、查閱資料，或與同學討論。

這種學習習慣，不僅培養她強大得自學能力，更塑造了其獨立思考和解決問題得能力，更爲日後的學術研究奠定了堅實的基礎。

到了六年級的時候，王虹再次跳級，直接升入初中。

2004年中考，她成功考入了了桂林中學，在高手如雲的重點高校，她的成績從全年級100名之外最終衝入TOP 10。

逐夢數學，從北大到MIT

2007年，當大多數同齡人還在爲高考而奮鬥時，16歲的王虹便以653分優異的成績提前考入了北大地球與空間科學學院。

然而，出於對數學的摯愛，讓她在一年後毅然轉入了數學科學學院。

在此期間，她的導師是王立中教授，並在劉張炬教授指導下完成了「經典Hodge理論和度量空間上的Hodge理論」的畢業論文。

本科畢業後，王虹的求學腳步，並未停歇。

2011年和2014年，她先後獲得了巴黎綜合理工學院（École Polytechnique）數學學位，以及巴黎南大學（Paris-Sud Université）數學碩士學位

緊接着在2019年，她在麻省理工學院（MIT）完成了博士學位，導師是Larry Guth。

博士畢業後，王虹的學術之路愈發璀璨。

2019-2021年，她在普林斯頓高等研究院（IAS）擔任博士後成員；2021-2023年，她還在加州大學洛杉磯分校（UCLA）擔任助理教授。

目前，王虹任紐約大學庫朗數學研究所（NYU Courant）的數學副教授。

值得一提的是，她的研究成果得到了國際數學界的高度認可。

2022年，王虹獲得了極具聲望的「Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize」，因在限制性猜想、局部光滑性猜想及相關問題上的突破性研究，而獲此殊榮。

這個獎項專門表彰過去兩年內獲得博士學位的傑出女性數學家。

世紀數學難題，無人破解

1917年，S. Kakeya提出了著名的Kakeya針問題：在平面中，旋轉一個單位線段（「針」）180 度所需的最小面積是多少？

如果圍繞中點旋轉，所需面積爲π/4單位，而通過一個「三點掉頭」方式旋轉則只需π/8。

右邊的三角形（deltoid）的大小是圓的一半，儘管兩個指針都能旋轉經過每個方向

1927年，A. Besicovitch解決了這個問題，給出了一個令人驚訝的答案：通過恰當的方式，旋轉一個針只需要任意小的面積。

乍一看，Kakeya問題和Besicovitch的解決方案，似乎僅僅是數學上的好奇。

然而，在過去的三十年中，人們逐漸意識到，這類問題與許多看似無關的數學領域相關，涉及到數論、幾何組合學、算術組合學、振盪積分，甚至是色散方程和波動方程的分析。

2014年，在Nets Katz、陶哲軒嘗試證明Kakeya猜想十多年後，陶在他的博客上發佈了詳細研究方法的概述，希望其他數學家有機會自己嘗試這個方法。

127頁硬核證明

值得一提的是，這一篇長達127頁的論文，摘要十分簡明。

在論文開頭，研究者概述道：Kakeya集合猜想斷言，在R^n中，每個Kakeya集合的Minkowski維數和Hausdorff維數均爲n。

n=2的猜想已被解決，當在三維及更高維度下，該問題仍未解決。

而在這項工作中，研究者解決了三維空間中的Kakeya集合猜想。

開始，研究者就給出了定理1.1：ℝ³中的每個Kakeya集合的Minkowski維數和 Hausdorff維數均爲3。

它是以下這個技術性更強的結果的推論。

接下來，研究者證明了當集合T具有粘性時，定理1.2是成立的。（圖1左）

然而，並非所有的管狀集合都是粘性的，圖1右就展示了一個反例。

爲了分析這些反例，他們引入了定理1.2中非聚集性假設的兩種變體，以及體積估計的兩種變體。

隨後，利用Guth提出的粒子分解變體，研究者假設了T_ρ內的δ/ρ管排列成「晶粒」。

接下來，研究者對粒子的交疊度進行了一種粗尺度估計。

假設當兩個棱柱ρ，ρ’都屬於集合ρ且相交時，它們的相應切平面在δ/(ρc)精度內一致。

由此，就到了本文的一個關鍵創新點！

研究者提出了一個結構定理，該定理找到了一個凸集集合W，使得W滿足Katz-Tao Convex Wolff公理，且寄予集合W中的每個W（定義），都滿足幾個關鍵性質。

陶哲軒：「通俗易懂」版解析來了

爲了讓大家更好地理解這個問題，陶哲軒也在論文發佈後，第一時間更新了一篇詳盡的分析。

經過大佬通俗易懂的分析，許多人明白了這項研究的要點和意義所在。

幾何測度論領域已經取得了一些驚人的進展：王虹和Joshua Zahl剛剛發佈了一篇預印本，解決了臭名昭著的掛谷集合猜想（Kakeya set conjecture）的三維情況！

這個猜想斷言Kakeya集合——一個包含每個方向上單位線段的R^3子集，必須具有等於3的閔可夫斯基維數和豪斯多夫維數。（這個猜想還有一個更強的「極大函數」變體，目前仍未解決，儘管本文的方法將給出這個極大函數的一些非平凡界限。）

通常人們用小尺度0 <δ<1來離散化這個猜想。粗略地說，該猜想斷言如果有一個由δ×δ×1管組成的族t，其基數爲≈δ^-2，並且指向一組δ分離的方向，那麼這些管的並集< pan> 的體積應該爲≈1。

在這裡，我們對≈的含義稍作模糊，但大致上應該理解爲「在形式爲Oε（δ^-ε）的因子範圍內，對於任意ε>0」；特別是，這種表示法可以吸收可能由二分抽屜原理引起的任何對數損失。

出於技術原因（包括需要調用前述的二分抽屜原理），研究者實際上處理的是稍小的集合 。 其中Y是T中管的「着色」，爲集合中的每個管T分配一個大的子集Y(T)；但在本討論中，我們將忽略這個微妙之處，假設我們總是可以使用完整的管。

該領域以前的研究成果往往集中在形式爲：

對於各種中間維數0

1995年，在Bourgain早期工作的基礎上，Wolff著名地獲得了帶有d=2.5的(1)式，使用的是現在被稱爲「Wolff毛刷論證」的方法，該方法基於考慮「毛刷」的大小——即所有通過集合中單個管（毛刷的「柄」）的管的並集。

在他們的新論文中，王虹和Zahl建立了d=3的（1）式。證明非常長（127頁！），並且關鍵地依賴於他們之前的論文，該論文解決了猜想的一個關鍵「粘性」情況。

在這裡，我想嘗試總結一下證明的高層次策略，爲了便於闡述，我省略了許多細節，並在多處簡化了論證過程。該論證確實使用了之前文獻中的許多思想，包括一些來自我與合著者論文中的思想；但所需的案例分析和迭代方案非常複雜且精細，需要多種新思想來完成整個論證。

證明(1)式的一個自然策略是嘗試對d進行歸納：如果我們用K(d)表示對所有由≈δ^-2個維度爲δ×δ×1的管組成的配置，且這些管具有δ分離的方向，（1）式成立的斷言，我們可以嘗試證明對所有0 0是依賴於d的某個小的正數。通過反覆迭代這一過程，我們可以期望使d任意接近3。

這類連續歸納法論證的一般原則是首先以非顯然的方式獲得平凡蘊含K(d)⇒K(d)希望這個非顯然的論證可以通過某種擾動或優化，獲得關鍵的改進K(d)⇒K(d+α)。

自從1990年代Bourgain和Wolff的工作以來（其前身是Córdoba的早期工作），實現這一目標的標準策略是執行某種「尺度上的歸納法」。

基本思想如下：讓我們稱T中的δ×δ×1管T爲「細管」。我們可以嘗試將這些細管分組爲尺寸爲ρ×ρ×1的「粗管」，其中δ≤ρ≤1是某個中間尺度；對於這個簡述來說，這裡選擇的中間值具體是什麼並不特別重要，但如果需要的話，可以設置ρ=√δ。由於T中方向的δ分離性質，在給定的粗管中最多隻能有大約小於等於(ρ/δ)^2個細管，因此我們至少需要大約大於等於ρ^-2個粗管來覆蓋≈δ^-2個細管。

現在讓我們假設我們處於「粘性情況，即細管在粗管內儘可能地粘在一起，因此實際上有一個包含≈ρ^-2個粗管T_ρ的集合T_ρ，每個粗管包含大約（ρ/δ）^2個細管。我們還假設粗管T_ρ在方向上是ρ分離的，這一假設與我們在此做出的其他假設高度一致。

如果我們已經有了假設K(d)，那麼通過在尺度ρ而不是δ上應用它，我們可以得出粗管所佔體積的下界：

由於 這實質上告訴我們粗管的典型多重度μ_fat爲約小於ρ^(d-3)； 中的一個典型點應該屬於大約μ_fat爲約小於ρ^(d-3)個粗管。

現在，在每個粗管T_ρ內，我們假設有大約(ρ/δ)^2個在方向上δ分離的細管。如果我們沿着粗管的軸進行因子爲1/ρ的線性縮放，將其轉變爲1×1×1的管，這將使細管擴展爲尺寸爲δ/ρ×δ/ρ×1的縮放後的管，這些管現在在方向上≈δ/ρ分離。

這種縮放不影響管的多重度。再次應用K(d)，我們實質上看到縮放後管的多重度μ_fine，因此，因此T_ρ內的細管的多重度應該爲約小於(δ/ρ)^(d-3)。

接下來，我們觀察到完整集合T中細管的多重度μ實質上應該滿足不等式：

這是因爲如果一個給定點最多位於μ_fat個粗管中，且在每個粗管內，一個給定點最多位於該粗管中的μ_fine個細管中，那麼它應該最多隻能位於μ_fatμ_fine個管中。從直觀上，這給出了 ，從而在粘性情況下恢復了（1）式。

在他們之前的論文中，王虹和Zahl大致能夠從這個論證中獲得更多結果，得到類似於K(d)⇒K(d+α)的結果，這在粘性情況下大致遵循了Nets Katz和我本人在十多年前的博客文章中討論過的策略。我不會在這裡進一步討論論證的這一部分，請讀者參考該論文的引言；相反，我將專注於當前論文中處理非粘性情況的論證。

讓我們嘗試在非粘性情況下重複上述分析。我們假設K(d)（或其某些合適的變體），並考慮一些增厚的Kakeya集合：

其中，T類似於我們可能稱爲尺度δ的「Kakeya配置」：一個由δ^-2個維度爲δ×δ×1的細管組成的集合，這些細管在方向上δ分離。（實際上，爲了使歸納法有效，我們必須考慮比這些更一般的管的族，滿足一些標準的「Wolff公理」而不是方向分離假設；但我們暫時不詳細討論這個問題。）我們的目標是證明類似於K(d+α)的結果，其中α>0，這相當於獲得一些改進的體積界限：

這改進了來自K(d)的界限 。 從之前的論文中我們知道我們可以在「粘性」情況下做到這一點，所以我們將假設E是「非粘性的」（不管這具體是什麼意思）。

一個典型的非粘性設置是現在有mρ^-2個粗管，其中m>>>1是某個多重度（例如，m=δ^-η，其中η>0是一個小常數），每個粗管只包含m^-1 (δ/ρ)^-2個細管。現在我們面臨一個不幸的不平衡：粗管形成了一個「超級Kakeya配置」，在粗尺度ρ上有太多的管，使它們不可能都在方向上ρ分離，而粗管內的細管形成了一個「次級Kakeya配置」，其中沒有足夠的管來覆蓋所有相關方向。因此，我們不能在任一尺度上有效地應用假設K(d)。

這似乎是一個嚴重的障礙，因此讓我們換一種思路，考慮一種不同的方式來嘗試完成論證——讓我們看看，E會如何與給定的ρ-球B(x,ρ)相交。

假設K(d)表明E可能表現得像一個d-維分形，在這種情況下，我們可能會推測|E∩B(x,ρ)|的大小形式爲(ρ/δ)^dδ^3。爲了進行論證，假設集合E在這個尺度上比這更密集，例如我們有：

對所有x∈E和某個α>0成立。我們觀察到ρ-鄰域E基本上是 ，因此根據假設K(d)，其體積爲約大於ρ^(3-d)（實際上我們甚至期望在m上有一些增益，但我們暫時不嘗試捕捉這樣的增益）。由於ρ-球的體積爲≈ρ^3，這應該意味着E需要大約ρ^-d個球來覆蓋它。應用(3)式，我們從直觀上有：

這將給出所需的增益K(d+α)。所以如果我們能夠在某個中間尺度ρ展示條件(3)，我們就贏了。我認爲這是一種[Frostman測度的違背]，因爲Frostman類型的界限：

正在被違背。

集合E作爲厚度爲δ管的並集，本質上是δ×δ×δ立方體的並集。但在之前的陶哲軒和Nets Katz、Izabella Laba等的研究中已經觀察到，這些Kakeya集合傾向於組織成比這些立方體更大的「顆粒」。特別是，對於某些中間尺度δ<<

Nets、Izabella和陶哲軒最初提出的「顆粒性」論證需要一個粘性假設，而我們在此明確不做這一假設（還需要一個「X射線估計」），因此不能直接用於當前的論證。不過，Guth基於多項式方法開發了一種替代的顆粒性方法，可以適用於這種情況。通過重新縮放，就可以確保單個粗管T_ρ內的細管將組織成重新縮放後維度爲δ×ρc×c的顆粒。與單個粗管相關的顆粒基本上是不相交的；但來自不同粗管的顆粒之間可能存在重疊。

顆粒的確切維度ρc, c並未預先指定；Guth的論證將表明ρc明顯大於δ，但除此之外沒有其他界限。原則上，我們應該能夠在不失一般性的情況下假設顆粒儘可能「大」。這意味着不再有維度爲δ×ρ’c’×c’的更長的顆粒，其中c'遠大於c；對於固定的c，也不存在維度爲δ×ρ’c×c的更寬的顆粒，其中ρ’遠大於ρ。

一種較爲退化的情況是，存在維度約爲δ×1×1的巨大顆粒（即ρ≈c≈1），使得Kakeya集E更像是平面板的並集。在這種情況下，Córdoba的經典L^2論證能夠給出良好的估計，因此這被證明是一個相對簡單的情況。所以我們可以假設ρ或c中至少有一個很小（或兩者都小）。

現在我們重新審視多重度不等式。這個不等式有些浪費，因爲用於定義μ_fat的粗管佔據了很多不在E中的空間。這裡的一個改進不等式是：

其中μ_coarse不是粗管T_ρ的多重度，而是更小集合 的多重度。這裡的關鍵點是，根據顆粒性假設，每個 是基本不相交的中間維度δ×ρc×c顆粒的並集。因此，量μ_coarse基本上是在測量顆粒的多重度。

結果表明，經過適當的重新縮放後，顆粒的排列在局部上看起來像是ρ×ρ×1管的排列。在理想情況下，這些管會呈現出Kakeya（或次級Kakeya）配置的特徵，例如在給定方向上沒有過多的管。（更準確地說，這裡應該假設某種形式的Wolff公理，作者稱之爲「Katz-Tao凸Wolff公理」）。假設K(d)的一個合適變體將給出以下界限：

同時，粗管內的細管將形成一個次級Kakeya配置，比Kakeya配置少約m倍的管。可以證明，通過使用K(d)可以在m上獲得增益：

其中σ＞0是一個小常數。將這些界限代入（4）式，可以得到一個良好的界限 ，這就導致了所需的增益K(d+α)。

因此剩下的情況是當顆粒不表現爲重新縮放的Kakeya或次級Kakeya配置時。Wang和Zahl引入了一個「結構定理」來分析這種情況，得出結論是顆粒將組織成一些更大的凸棱柱W，每個棱柱W中的顆粒表現爲「超級Kakeya配置」（比Kakeya配置有明顯更多的顆粒）。然而，這些棱柱W的精確維度並未預先指定，需要進一步分情況討論。

一種情況是當棱柱W是「厚的」，即所有維度都明顯大於δ。直觀上講，這意味着在小尺度上，E在重新縮放後看起來像一個超級Kakeya配置。通過一個相當冗長的尺度歸納論證，Wang和Zahl能夠證明（一個合適變體的）K(d)意味着它自身的「X射線」變體，其中超級Kakeya配置的下界明顯好於Kakeya配置的下界。這樣做的結果是，在這種情況下能夠獲得形式爲（3）的Frostman測度違背界限，如前所述，這已足以解決這種情況。

剩下需要處理的是棱柱W是「薄的」情況，即它們的厚度≈δ。在這種情況下，Córdoba的L^2論證，結合每個薄棱柱內顆粒的超級Kakeya性質，表明每個棱柱幾乎完全被集合E佔據。這實際上意味着，這些棱柱W本身可以被視爲Kakeya集合的顆粒。但這與顆粒維度的最大性相矛盾（如果一切設置正確）。

這一結果處理了完成尺度歸納所需的最後剩餘情況，從而證明了Kakeya猜想！

參考資料：JHNYZ

https://terrytao.wordpress.com/2025/02/25/the-three-dimensional-kakeya-conjecture-after-wang-and-zahl/

https://mathstodon.xyz/@tao/114068378728816631

https://edu.sina.com.cn/gaokao/2007-09-03/172299220.shtml

https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/